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Beweis. Setzt man wirklich M(^k, ^), so ist nach 9 dieeine Bedingung ^4) ^ erfüllt. Da nach 23 ferner — M (^4', I,'),und nach Annahme ^1,, ist, so ist nach 10 anch die

andere Bedingung erfüllt, und hieraus folgt, weil (nach 9)

ist, auch d. h. ^ ist eine Kette, w. z. b. w.

42. Satz. Ein aus lauter Ketten ^4, zusammen-gesetztes System ist eine Kette.

Beweis. Da (nach 23) ^ M (^, L', 6"...), und nachAnnahme ^4'^, F'^F, ist, so folgt (nach 12) I/'Z M

w. z. b. w.

43. Satz. Die Gemeinheit S von lauter Ketten ^4. <?...ist eine Kette.

Beweis. Da S nach 17 Gemcintheil von ^4, ^, <?..., alsoS' nach 22 Gcineintheil von ^.',^8', und nach Annahme

^')^4, <7'^<?... ist, so ist (nach 7) 6' anch Gemeintheil

von ^4, (7... und folglich nach 18 auch Theil von <?, w. z. b. w.

44. Erklärung. Ist ^4 irgend ein Theil von K, so wollenwir mit ^4<> die Gemeinheit aller derjenigen Ketten (z. B. 6) be-zeichnen, von welchen ^4 Theil ist; diese Gemeinheit ^4„ eristirt(vergl. 17), weil ja ^4 selbst Gemeintheil aller dieser Ketten ist.Da ferner ^ nach 43 eine Kette ist, so wollen wir ^4<> die Kettedes Systems ^4 oder kurz die Kette von ^4 nennen. Auchdiese Erklärung bezieht sich durchaus auf die zu Grunde liegendebestimmte Abbildung P des Systems A in sich selbst, und wenn esspäter der Deutlichkeit wegen nöthig wird, so wollen wir statt ^»lieber das Zeichen P<>(^4) setzen, uud ebenso werden wir die eineranderen Abbildung a> entsprechende Kette von ^4 mit a>o (^4) be-zeichnen. Es gelten nun für diesen sehr wichtigen Begriff diefolgenden Sätze.

45. Satz. Es ist ^i.^«.

Beweis. Denn ^4 ist Gemcintheil aller derjenigen Ketten, derenGemeinheit ^4« ist, woraus der Satz nach 13 folgt.