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46. Satz. Es ist (^)'^-°-

Beweis. Denn nach 44 ist ^4« eine Kette (37).

47. Satz. Ist ^4 Theil einer Kette X, so ist cmch ^«ZX.Beweis. Denn ^4<> ist die Gemeinheit und folglich anch ein

Gemeinthcil aller der Ketten L", von denen ^4 Theil ist.

48. Bemerkung. Man überzeugt sich leicht, daß der in 44erklärte Begriff der Kette ^4<> durch die vorstehenden Sätze 45, 46,47 vollständig charakterisirt ist.

49. Satz. Es ist ^'Z(^o)'.Der Beweis folgt aus 45, 22.

50. Satz. Es ist

Der Beweis folgt aus 49, 46, 7.5t. Satz. Ist ^4 eine Kette, so ist ^i<> — ^4.Beweis. Da ^4 Theil der Kette ^4 ist, so ist nach 47 auch^4„-Z^4, woraus nach 45, 5 der Satz folgt.

52. Satz. Ist so istDer Beweis folgt aus 45, 7.

53. Satz. Ist F^4„, so ist und umgekehrt.Beweis. Weil ^4„ eine Kette ist, so folgt nach 47 aus

auch A„^^4<>; umgekehrt, wenn Z^^, so folgt nach 7 auch2?^, weil (uach 45) ist.

54. Satz. Ist F)^4, so ist 2?.^.Der Beweis folgt aus 52, 53.

55. Satz. Ist so ist auch F'^.

Beweis. Denn nach 53 ist F„^->, und da (nach 50) F'ZI?«ist, so folgt der zu beweisende Satz aus 7. Dasselbe ergicbt sich,wie leicht zu sehen, auch aus 22, 46, 7, oder auch aus 40.

56. Satz. Ist F^«, so ist (2?„)'Z(^)'.Der Beweis folgt aus 53, 22.

57. Satz und Erklärung. Es ist (^,)' - (^')„, d. h. dasBild der Kette von ^4 ist zugleich die Kette des Bildes von ^4.Man kann daher dieses System kurz durch ^4ö bezeichnen und nach