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zugleich die dort mit 6 bezeichnete Abbildung durch « ersetzt, soentspricht jeder Zahl n ein bestimmtes, in Q enthaltenes Element4> (n), das jetzt dnrch das Symbol «" bezeichnet werden mag undbisweilen die nie Potenz von « genannt wird; dieser Begriff istvollständig erklärt durch die ihm auferlegten Bedingungen

II. ll>l ^ QIII. k>"' — Q k>",

und seine Existenz ist durch den Beweis des Satzes 126 gesichert.

Ist die obige Verbindung der Elemente außerdem so beschaffen,daß für beliebige Elemente ^, v, « stets « (v.») — (« v) ^ ist,so gelten auch die Sätze

— k>, co"> co" ' co" a,"»,deren Beweise leicht durch vollständige Jnduction (30) zu führensind und dem Leser überlassen bleiben mögen.

Die vorstehende allgemeine Betrachtung läßt sich unmittelbarauf folgendes Beispiel anwenden. Ist S ein System von beliebigenElementen, und Q das zugehörige System, dessen Elemente diesämmtlichen Abbildungen v von 6 in sich selbst sind (36), so lassendiese Elemente sich nach 25 iinmcr zusammensetzen, weil v(Z)^Kist, uud die aus solchen Abbildungen v nnd w zusammengesetzteAbbildung a>v ist selbst wieder Element von K. Dann sind auchalle Elemente «" Abbildungen von S in sich selbst, und man sagt,sie entstehen durch Wiederholung der Abbildung co. Wir wollennun einen einfachen Zusammenhang hervorheben, der zwischen diesemBegriffe und dem in 44 erklärten Begriffe der Kette co« (^.) besteht,wo ^. wieder irgend einen Theil von K bedeutet. Bezeichnet mander Kürze halber das durch die Abbildung w" erzeugte Bild a>" (^l.)mit so folgt aus III und 25, daß ca (^.«) — ^ ist. Hier-ans ergicbt sich leicht durch vollständige Jnduetion (80), daß allediese Systeme Theile der Kette a><> (^4) sind; denn

y. diese Behauptung gilt zufolge 5V für n — 1, und

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