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überzeugen. Ist das aus deu verschiedenen Elementen a und bbestehende System K durch y> so in sich selbst abgebildet, daß«' — ö, — « ivird, so ist offenbar a„ — b„ — es sei fernerdas aus den verschiedenen Elementen «, /3 und ^ bestehendeSystem Q durch 0 so in sich selbst abgebildet, daß 0 («) —

(/Z) — ^, g s^) — « wird; verlangt man nun eine solche Ab-bildung ^ von in K, daß (a) — «, und außerdem für jedesin enthaltene Element m immer ^- — ö ^ (»-) wird, so stößtman auf einen Widerspruch; denn für n — a ergicbt sich (ü)— —/Z, und hieraus folgt für » —d, daß («) — 6 (/3) —fein müßte, während doch ^ (a) — « war.

Giebt es aber eine Abbildnng von ^ in welche denobigen Bedingungen 6 ohne Widerspruch genügt, so folgt aus60 leicht, daß sie vollständig bestimmt ist; denn wenn die AbbildungA denselben Bedingungen genügt, so ist allgemein A (») — i/, (»),weil dieser Satz zufolge 9 für alle in ^4 enthaltenen Elemente» — a gilt, und weil er, wenn er für ein Element n von ^ gilt,zufolge 6 auch für dessen Bild n' gelten muß.

131. Um die Tragweite unseres Satzes 126 ins Licht zusetzen, wollen wir hier eine Betrachtung einfügen, die auch fürandere Untersuchungen, z. B. für die sogenannte Gruppentheorienützlich ist.

Wir betrachten ein System dessen Elemente eine gewisseVerbindung gestatten, in der Art, daß ans einem Elemente v durchEinwirkung eines Elementes co immer wieder ein bestimmtes Elementdesselben Systems K entspringt, welches mit co . v oder « v be-zeichnet werden mag und im Allgemeinen von v« zu unterscheidenist. Man kann dies auch so auffassen, daß jedem bestimmtenElemente co eine bestimmte, etwa durch « zu bezeichnende Abbildnngdes Systems Q in sich selbst entspricht, insofern jedes Element vdas bestimmte Bild ä> (v) — « v liefert. Wendet man auf diesesSystem Q und dessen Element 01 den Satz 126 an, indem man