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und nach 57, 126, III.

6 (6» (»))) ^ 6° (6 (»))) ^ 0„ (^ (»/))ist, so ergicbt sich

^ «) ^ 6„ (»')). .

d. h. der Satz gilt auch für die aus n folgende Zahl n', w. z. b. w.

130. Bemerkung. Bevor wir zu den wichtigsten Anwendungendes in 126 bewiesenen Satzes der Definition durch Jnduction über-gehen (§§. 10 bis 14), verlohnt es sich der Mühe, auf einenUmstand aufmerksam zu machen, durch welchen sich derselbe von demin 80, oder vielmehr schon in 59, 60 bewiesenen Satze der Demon-stration durch Jnduction wesentlich unterscheidet, so nahe auch dieVerwandtschaft zwischen jenem und diesem zu sein scheint. Währendnämlich der Satz 59 ganz allgemein für jede Kette ^ gilt, wo ^irgend ein Theil eines durch eiue beliebige Abbildung y> in sichselbst abgebildeten Systems S ist (Z. 4), so verhält es sich ganzanders mit dem Satze 126, welcher nur die Existenz einer wider-spruchsfreien (oder eindeutigen) Abbildung -ch des einfach unendlichenSystems 1o behauptet. Wollte man in dem letzteren Satze (unterBeibehaltung der Voraussetzungen über Q und 6) an Stelle derZahlenreihe 1° eine beliebige Kette ^ aus einem solchen System Ksetzen, und etwa eine Abbildung ^ von ^ in K auf ähnlicheWeise wie in 126. II, III dadurch definiren, daß

y. jedem Element a von ^4 ein bestimmtes aus K gewähltesElement (a) entsprechen, und

6. daß für jedes in ^ enthaltene Element n und dessen Bild— yz (n) die Bedingung ^ (n') — S ^ (») gelten soll,so würde sehr häufig der Fall eintreten, daß es eine solche Ab-bildung ^ gar nicht giebt, weil diese Bedingungen y, 6 selbst dannnoch in Widerspruch mit einander gerathen können, wenn man auchdie in 9 enthaltene Wahlfrciheit von vornherein der Bedingung 6gemäß beschränkt. Ein Beispiel wird genügen, um sich hiervon zu