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Beweis. Wir zeigen zunächst durch vollständige Jnduction(80), daß

(w),

d. h. daß jedes Bild ^ (») auch Element von S» («) ist. Inder That,

y. dieser Satz ist wahr für n —1, weil (nach 126. II)^ (1) — a>, und weil (nach 45) a> H 9„ («) ist.

6. Ist der Satz wahr für eine Zahl n, ist also ^ (n) ^ S-> («),so ist nach 55 auch 6 O («))Z0„ («). d. h. (nach 126. III)^ (n')) 6« («), also gilt der Satz auch für die folgende Zahl n',w. z. b. w.

Um ferner zu beweisen, daß jedes Element v der Kette 6o(w)in ^ (^V) enthalten, daß also

0„ («)8^(^)

ist, wenden wir ebenfalls die vollständige Jnduction, nämlich denauf Q und die Abbildung 6 übertragenen Satz 59 an. In der That,

9. das Element co ist — ^ (1), also in ^ (^V) enthalten.

6. Ist v ein gemeinsames Element der Kette ö„ (co) und desSystems ^ (^), so ist v — i/< (^), wo eine Zahl bedeutet, undhieraus folgt (nach 126. III) g (v) ^ 6 ^. (n) — ^ l>'), mithinist auch S (v) in ^ (^V) enthalten, w. z. b. w.

Aus den bewiesenen Sätzen ^ (^V) Z ö„ (co) und 6» («) ) ^ (-?V)folgt (nach 5) ^ (^V) — 6„ («), w. z. b. w.

12O. Satz. Unter denselben Voraussetzungen ist allgemein^l>°) O i»).

Beweis durch vollständige Jnduction 8V. Denn

y. Ter Satz gilt zufolge 128 für n — 1, weil i<> — und(1) — « ist. »

o. Ist der Satz wahr für eine Zahl n, so folgt6^0°))^ö(0o t>»)));da nun nach 127, 75

S (»«)) ^ ^ (»A