35

126. Satz der Definition durch Jndnction. Ist eine beliebige(ähnliche oder unähnliche) Abbildung 6 eines Systems Q in sichselbst, und außerdem ein bestimmtes Element « in K gegeben, sogiebt es eine und nur eine Abbildung ^ der Zahlenreihe ^V, welcheden Bedingungen

I. ^(^V)^QII.

III. ^ <V) — 6 ^ (») genügt, wo n jede Zahl bedeutet.

Beweis. Da, wenn es wirklich eine solche Abbildung ^- giebt,in ihr nach 21 auch eine Abbildung ^« des Systems ^„ enthaltenist, welche den in 125 angegebenen Bedingungen I, II, III genügt,so muß, weil es stets eiue und uur eine solche Abbildung ^„ giebt,nothwendig

^ (,?,) — ^« (») (n)sein. Da hierdurch i/, vollstüudig bestimmt ist, so folgt, daß es auchuur eine einzige solche Abbildung i/> geben kann (vergl. den Schlußvon 130). Daß umgekehrt die durch (w) bestimmte Abbildungauch unseren Bedingungen I, II, III genügt, solgt mit Leichtig-keit aus (n) unter Berücksichtigung der in 125 bewiesenen Eigen-schasten I, II, und (^), >v. z. b. w.

127. Satz. Unter den im vorhergehenden Satze gemachtenVoraussetzungen ist

^ (7") ^ 6 ^ (?),ivo ^ irgend einen Theil der Zahlenreihe bedeutet.

Beweis. Deun wenn t jede Zahl des Systems ^ bedeutet,so besteht ii> (2") aus allen Elenienten ^ (t'), und g ^ (^) ausallen Elementen öchst); hieraus solgt unser Satz, weil (nach IIIin 120) ^(t') ^ 6^(y ist. .

128. Satz. Behält man dieselben Voraussetzungen bei undbezeichnet man mit <?o die Ketten (44), welche der Abbildung desSystems K in sich selbst entsprechen, so ist

4> (^V) ^ ^ («).