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Bedeutet nun ^ die in 126 defiuirte Abbildung der Zahlenreihe ^V,so folgt aus /Z und 128 zunächst

^ (^) ^ 62,

und wir haben daher nach 32 nur noch zu zeigen, daß ^ eineähnliche Abbildung ist, d. h. (26) daß verschiedenen Zahlen m, nauch verschiedene Bilder ^- (m), ^ (n) entsprechen. Der Symmetriewegen dürfen wir nach 90 annehmen, es fei m >» also mund der zu beweisende Satz kommt darauf hinaus, daß ^ (n) nichtin ^ (,?5), also (nach 127) nicht in ö ^ (»„) enthalten ist. Diesbeweisen wir für jede Zahl n durch vollständige Jnduclion (80).In der That,

y. dieser Satz gilt nach 7 für n — 1, weil ^ (1) — «, und^(1„) ^ ^(^V) ^62 ist.

6. Ist der Satz wahr für eine Zahl n, fo gilt er auch fürdie folgende Zahl n'; denn wäre -ch(n'), d. h. 6^(n) in 6ch«)enthalten, so müßte (nach ö und 27) auch ^ (m) in 1/- (m!>) ent-halten sein, während unsere Annahme gerade das Gegentheil besagt,w. z. b. w.

133. Satz. Jedes System, welches einem einfach unendlichenSystem und folglich (nach 132, 33) auch der Zahlenreihe ähnlichist, ist einfach uuendlich.

Beweis. Ist 62 ein der Zahlenreihe ähnliches System, sogiebt es nach 32 eine solche ähnliche Abbildung ^ von ^V, daß

I. ^(^)-^62

wird; dann setzen wir

II. ^(1)^01.

Bezeichnet man nach 26 mit P die umgekehrte, ebenfalls ähnlicheAbbildung von 62, so entspricht jedem Elemente v von 62 einebestimmte Zahl P (v) — n, nämlich diejenige, deren Bild ^- («) — vist. Da nun dieser Zahl n eine bestimmte folgende Zahl P (1?) —und dieser wieder ein bestimmtes Element (»') in 62 entspricht,so gehört zu jedem Elemente v des Systems 62 auch ein bestimmtes