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Element ^ (,»') desselben Systems, das wir als Bild von v mit6(v) bezeichnen wollen. Hierdurch ist eine Abbildung 0 von K insich selbst vollständig bestimmt*), und nm unseren Satz zn beweisen,wollen wir zeigen, dciß ^ durch 6 als einfach unendliches Systemgeordnet ist (71), d. h. daß die in dem Beweise von 132 angege-benen Bedingungen «, /Z, 7, ö sämmtlich erfüllt sind. Zunächstleuchtet « aus der Definition von 6 nnmittelbar ein. Da ferner jederZahl » ein Element v —^-(n) entspricht, für welches g(v) —^(»')wird, so ist allgemein

III. ^ (»') — ö ^ (,?),und hieraus in Verbindung mit I, II, « crgiebt sich, daß die Ab-bildungen ö, ^ alle Bedingungen des Satzes 126 erfüllen; mithinfolgt aus 128 und I. Nach 127 nnd I ist ferner

^ 6^.(/V) ^ 0(N),und hieraus in Verbindung mit II nnd der Aehnlichkcit der Ab-bildung ^ folgt 7, weil sonst i/-(1) iu ^'(^V'), also (nach 27) dieZahl 1 in ^/V' enthalten sein müßte, was (nach 71. 7-) nicht derFall ist. Wenn endlich ^, v Elemente von 62, und m, » die ent-sprechenden Zahlen bedeuten, deren Bilder ^ (m) ^ ^, ^ («) — vsind, fo folgt aus der Annahme 6 (u) — 6 (") nach dem Obigen,daß (?»') — ^ (»'), hieraus wegen der Aehnlichkeit von 1^, P,daß — — also auch ^ — v ist; mithin gilt auch ö,w. z. b. w.

134. Bemerkung. Znfolge der beiden vorhergehenden Sätze132, 133 bilden alle einfach unendlichen Systeme eine Classe imSinne von 34. Zugleich leuchtet mit Rücksicht ans 71, 73 ein, daßjeder Satz über die Zahlen, d. h. über die Elemente n des durchdie Abbildung y? geordneten einfach unendlichen Systems ^V, undzwar jeder solche Satz, in welchem von der besonderen Beschaffen-heit der Elemente n gänzlich abgesehen wird nnd nnr von solchen

Offenbar ist tl die nach 25 aus '/> zujainniengejetzte Abbildung

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