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vorliegt, nämlich diejenige Abbildung >x, dnrch welche als einfachunendliches System geordnet ist (71, 73). Dmm wird also K —g(n) — ?>(>i) — niithin

I. ^,(.V)^,

und es bleibt, um ^ vollständig zn bestimmen, nur noch übrig,das Element oi aus d. h. aus nach Belieben zu wählen.Nehmen wir « ^ 1, so wird ^ offenbar die identische Abbildung(21) von ^ weil den Bedingungen

^(1)^-1, ^O')^O(n))'allgemein durch ^ (n) — » genügt wird. Soll also eine andereAbbildung i/i von erzeugt werden, so muß für ca eine von 1verschiedene, nach 78 in enthaltene Zahl m' gewühlt werden,wo m selbst irgend eine Zahl bedeutet; da die Abbildung ^ offen-bar von der Wahl dieser Zahl »n abhängig ist, so bezeichnen wirdas entsprechende Bild ^- (n) einer beliebigen Zahl n durch dasSymbol m -f- und nennen diese Zahl die Summe, welcheaus der Zahl m durch Addition der Zahl n entsteht, oder kurzdie Summe der Zahlen m, «. Dieselbe ist daher nach 126 voll-ständig bestimmt durch die Bedingungen*)

II. M 1 ^ M'III. -s- n' — (m -f- tt)'.

136. Satz. Es ist m' -s- ,^ — ,» -f-

Beweis durch vollständige Jnduction (80). Denn

y. der Satz ist wahr für » — 1, weil (nach 135. II)

Die obige, unmittelbar auf den Satz 126 gegründete Erklärung derAddition scheint mir die einfachste zu sein. Mit Zuziehung des in 131 ent-wickelten Begriffes kann man aber die Summe m ->- m auch durch (m)oder auch durch (n) dcfiniren, wo y, wieder die obige Bedeutung hat. Umdie vollständige Uebereinstimmung dieser Definitionen mit der obigen zu be-weisen, braucht man nach 126 nur zu zeigen, daß, wenn ^» (m) oder y,-»stt>mit bezeichnet wird, die Bedingungen ^(1) — in', —

ersültt sind, was mit Hülse der vollständigen Jnduction (80) unter Zuziehungvon 131 leicht gelingt.