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noch unbekannt waren; diese Uebereinstimmung scheint mir ein er-freulicher Beweis dafür zu sein, daß meine Auffassung der Natur derSache entspricht, was auch von anderen Mathematikern, z. B. vonHerrn M. Pasch in seiner Einleitung in die Differential- und Integral-rechnung (Leipzig , 1833) anerkannt ist. Dagegen kann ich HerrnTannery nicht ohne Weiteres beistimmen, wenn er diefe Theorie dieEntwickelung eines von Herrn I. Bertrand herrührenden Gedankensnennt, welcher in dessen li-aits ä'aritnrQstiHNö enthalten sei unddarin bestehe, eine irrationale Zahl zu definiren durch Angabe allerrationalen Zahlen, die kleiner, und aller derjenigen, die größer sindals die zu definirende Zahl. Zu diesem Ausspruch, der von HerrnO. Stolz — wie es scheint, ohne nähere Prüfnng — in der Vorredezum zweiten Theile seiner Vorlesungen über allgemeine Arithmetik(Leipzig , 1886) wiederholt ist, erlaube ich mir Folgendes zu bemerken.Daß eine irrationale Zahl durch die eben beschriebene Angabe in derThat als vollständig bestimmt anzusehen ist, diese Ueberzeugung istohne Zweifel auch vor Herrn Bertrand immer Gemeingut allerMathematiker gewesen, die sich mit dem Begriffe des Irrationalenbeschäftigt haben; jedem Rechner, der eine irrationale Wurzel einerGleichung näherungslveise berechnet, schwebt gerade diese Art ihrerBestimmung vor; nnd wenn man, wie es Herr Bertrand in seinemWerke ausschließlich thut (mir liegt die achte Auflage aus dem Jahre1885 vor), die irrationale Zahl als Verhältniß meßbarer Größenauffaßt, fo ist diese Art ihrer Bestimmtheit schon auf das Deutlichstein der berühmten Definition ausgesprochen, welche Euklid (ElementeV. 5) für die Gleichheit der Verhältnisse aufstellt. Eben diese uralteUeberzengnng ist nun gewiß die Quelle meiner Theorie, wie derjenigendes Herrn Bertrand uud mancher anderen, mehr vder weniger durch-geführten Versuche gewesen, die Einführung der irrationalen Zahlenin die Arithmetik zu begründen. Aber wenn man Herrn Tannen,soweit vollständig beistimmen wird, so muß man bei einer wirklichenPrüfnng doch sofort bemerken, daß die Darstellung des Herrn Bertrand,;n der die Erscheinung des Schnittes in ihrer logischen Reinheit garnicht einmal erwähnt wird, mit der meinigen durchaus keine Aehnlich-