XI

Wissenschaft von den Zahlen streng logisch aufzubanen, und geradehierin besteht der Inhalt meiner mühsamen Arbeit, die ich in allemWesentlichen schon mehrere Jahre vor dem Erscheinen der Abhandlungvon G. Cnntor und zu einer Zeit vollendet hatte, als mir das Werkvon Bolzano selbst dem Namen nach gänzlich unbekannt war. FürDiejenigen, welche Interesse und Verständniß für die Schwierigkeiteneiner solchen Untersuchung haben, bemerke ich noch Folgendes. Mankann eine ganz andere Definition des Endlichen und Unendlichenaufstellen, welche insofern noch einfacher erscheint, als bei ihr nichteinmal der Begriff der Aehnlichkeit einer Abbildung (26) voraus-gesetzt wird, nämlich:

„Ein System S heißt endlich, wenn es sich so in sich selbstabbilden läßt (36), daß kein echter Theil (6) von L in sich selbstabgebildet wird; im entgegengesetzten Falle heißt A ein unendlichesSystem."

Nnn mache man einmal den Versuch, auf dieser neuen Grund-lage das Gebäude zu errichten! Man wird alsbald auf großeSchwierigkeiten stoßeu, und ich glaube behaupten zu dürfen, daßselbst der Nachweis der vollständigen Uebereinstimmung dieser Defi-nition mit der früheren nur dann (und dann auch leicht) gelingt,wenn man die Reihe der natürlichen Zahlen schon als entwickeltansehen und auch die Schlußbetrachtung in (131) zu Hülfe nehmendarf; und doch ist von allen diesen Dingen weder in der einen nochin der anderen Definition die Rede! Man wird dabei erkennen, wiesehr groß die Anzahl der Gedankenschritte ist, die zu einer solchenUmformung einer Definition erforderlich sind.

Etwa ein Jahr nach der Herausgabe meiner Schrift habe ichdie schon im Jahre 1884 erschienenen Grundlagen der Arithmetikvon G. Frege kennen gelernt. Wie verschieden die in diesem Werkeniedergelegte Ansicht über das Wesen der Zahl von der meinigen anchfein mag, so enthält es, namentlich von Z. 79 an, doch auch sehrnahe Berührungspuncte mit meiner Schrift, insbesondere mit meinerErklärung (44). Freilich ist die Uebereinstimmung wegen der ab-weichenden Ausdrucksweise nicht leicht zu erkennen; aber schon die