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Beweis. Denn wenn 9 wahr ist, so existirt nach 45 jedenfallsdie Gemeinheit 6 — G(-^o, I), und zwar ist (nach 18) ^.Z <?;da außerdem nach 17

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ist, so ist A auch Theil unseres Systems welches durch P insich selbst abgebildet ist, und zugleich folgt nach 55 auch <?'^„.Wenn nun 6 ebenfalls wahr, d. h. wenn A'^T ist, so mnßals Gemcintheil der Systeme ^ nach 18 Theil ihrer Gemein-heit A sein, d. h. ist eine Kette (37), und da, wie schon obenbemerkt, ^l. ^ A ist, so folgt nach 47 auch

und hieraus in Verbindnng mit dem obigen Ergebniß <? — ^0,also nach 17 auch ^<>HT, w. z. b. w.

60. Der borstehende Satz bildet, wie sich spater zeigen wird,die wissenschaftliche Grundlage für die unter dem Namen der voll-ständigen Jnduction (des Schlusses von n ans n -j- 1) bekannteBewcisart, und er kann auch auf folgende Weise ausgesprochenwerden: Um zu beweisen, daß alle Elemente der Kette ^ einegewisse Eigenschaft E besitzen (oder daß ein Satz S, in welchemvon einem unbestimmten Dinge n die Rede ist, wirklich für alleElemente n der Kette gilt), genügt es zu zeigen,

y. daß alle Elemente a des Systems ^. die Eigenschaft Ebesitzen (oder daß S für alle a gilt), und

o. daß dem Bilde jedes solchen Elementes n von welchesdie Eigenschaft E besitzt, dieselbe Eigenschaft E zukommt (oder daßder Satz S, sobald er für ein Element n von ^ gilt, gewiß auchfür dessen Bild »' gelten muß).

In der That, bezeichnet man mit X das System aller Dinge,welche die Eigenschaft E besitzen (oder für welche der Satz S gilt),so leuchtet die vollständige Uebcreiustimmnng der jetzigen Ausdrucks-weise des Satzes mit der in 59 gebrauchten unmittelbar ein.

61. Satz. Die Kette von M (.4,2?, <7...) ist M (^„, ...).