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s. Ist der Satz wahr für eine Zahl n, so gilt er auch fürdie folgende Zahl F n'; denn wenn L in der Zahlenkettc X"nicht enthalten ist, so kann nach 40 auch n nicht in ^ enthaltensein, und folglich ist nach unserer Annahme ^<; da nun(nach 77) ,?ö ^ M O ^°)' also X^M (^i,^°), und ^)nicht in X enthalten ist, so muß s^n, w. z. b. >v.

86. Satz. Wenn die Zahl n nicht in der Zahleuketteenthalten ist, wohl aber ihr Bild n', so ist 2^ — i^-

Beweis. Da n nicht in enthalten ist, so ist (nach 85)und da n'HX', so ist nach 47 auch <^-27, folglich nö,w. z. b. w.

87. Satz. In jeder Zahlenkette X giebt es eine und (nach 84)nur eine Zahl k, deren Kette /^ — /i7 ist.

Beweis. Ist die Grundzahl 1 in /5 enthalten, so ist (nach 79)X — — lg. Im entgegengesetzten Falle sei ^ das Systemaller nicht in ^ enthaltenen Zahlen; da die Grundzahl 1 in ^enthalten, aber ^ nur ein echter Theil der Zahlenreihe ist,so kann (nach 79) ^ keine Kette, d. h. kann nicht Theil von^ sein; es giebt daher in ^ eine Zahl n, deren Bild nichtin ^, also gewiß in ^7 enthalten ist; da ferner m in ^, alsonicht in ^7 enthalten ist, so ist (nach 86) X'— also /c —w. z. b. w.

88. Satz. Sind m, n verschiedene Zahlen, so ist eine und(nach 83, 84) nur eine der Ketten m„, »0 echter Theil der anderen,und zwar ist entweder No8mö, oder m^No.

Beweis. Ist n in m„ enthalten, also nach 74 anch m«^»^so kann m nicht in der Kette 1^ enthalten sein (weil sonst nach 74anch m„ H1^, also m„ — mithin nach 84 auch M — m wäre),und hieraus folgt nach 85, daß n<,^mä ist. Im entgegengesetztenFalle, wenn n nicht in der Kette m« enthalten ist, muß (nach 85)Mo^mö sein, w. z. b. w.