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entweder n — oder »^M«, d. h. » > m ist. Mithin ist dieBedingung »n^n gleichwerthig mit n„Hm<>. Außerdem folgt aus22, 27, 75, daß diese Bedingung ?^m<> wieder gleichwerthig mit»»o-Z mö, d. h. (nach ju. in 90) mit m < ist, w. z. b. w.

94. Satz. Jede der Bedingungen

^ < n', m < n

ist gleichwerthig mit jeder der anderen.

Der Beweis folgt unmittelbar aus 93, wenn man dort mdurch M' ersetzt, und aus ^ in 90.

95. Satz. Wenn ? < m und »! ^ n, oder wenn ? ^ mund m < »!, so ist ! < »». Wenn aber ? ^ »» nnd m ^ >?,so ist ? ^ «.

Beweis. Denn ans den (nach 89, 93) entsprechenden Be-dingungen Mo^?!> und No^Mo folgt (nach 7) und dasselbefolgt auch aus den Bedingungen m^?<> nnd »^Mo, weil zufolgeder ersteren auch ?»!>^o ist. Endlich folgt aus m^ /o und n^Moanch w. z. b. w.

96. Satz. In jedem Theile ^ von giebt es eine und nureine kleinste Zahl d. h. eine Zahl /c, welche kleiner ist als jedeandere in ^ enthaltene Zahl. Besteht aus einer einzigen Zahl,so ist dieselbe auch die kleinste Zahl in ^.

Beweis. Da 2^ eine Kette ist (44), so giebt es nach 87 eineZahl deren Kette ^ ist. Da hieraus (nach 45, 77)

(k, ?<) folgt, fo muß zunächst 5 selbst in ^ enthalten sein(weil sonst also nach 47 anch 1^5!., d. h. wäre,

was nach 83 unmöglich ist), und außerdem muß jede von k ver-schiedene Zahl des Systems ^ in ?c!> enthalten, d. h. > /- sein(89), woraus zugleich nach 90 folgt, daß es uur eiue einzige kleinsteZahl in ^ giebt, w. z. b. w.

97. Satz. Die kleinste Zahl der Kette n„ ist «, und dieGrundzahl 1 ist die kleinste aller Zahlen.