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Beweis. Denn nach 74, 93 ist die Bedingung m^»o gleich-werthig mit m ^ n, Oder es folgt unser Scitz auch unmittelbaraus dem Beweise des vorhergehenden Satzes, weil, wenn daselbst^ — angenomnum wird, offenbar /c ^ m wird (51).

98. Erklärung. Ist n irgend eine Zahl, so wollen wir mitF„ das System aller Zahlen bezeichnen, welche nicht größerals n, also nicht in enthalten sind. Die Bedingung

ist nach 92, 93 offenbar gleichwerthig mit jeder der folgenden Be-dingungen:

M ^ , M < Mo H Mg.

99. Satz. Es ist 1^,. und m^^.

Der Beweis folgt aus 98, oder auch aus 71 uud 82.

100. Satz. Jede der nach 98 gleichwcrthigen Bedingungen

M H Zn, »i ^ M < tt', ,!<> 8 ?w<>

ist auch gleichwerthig mit der Bedingung

-^»l ^ ^n-

Beweis. Denn wenn also m ^ m, und wenn ?^^„.,

also ? ^ m, so ist nach 95 auch ? ^ », d. h. ?)^„: wenn alsom^,., so ist jedes Element ? des Systems auch Element von

d. h. ^„,^-5... Umgekehrt, wenn ^m^-^,., so muß nach 7anch M^». sein, weil (nach 99) ist, w. z. b. w.

101. Satz. Die Bedingungen für die Fälle )l,, ^, v in 90lassen sich auch iu folgender Weise darstellen:

,it — », >t — —

Li,. ?1t < > Stt, ^„.' ^ ^„

V. M > < M, ^n' ^ -^-».

Der Beweis folgt unmittelbar aus 90, wenn man bedenkt, daßnach 100 die Bedingungen Mo^Mo uud ^,„^n gleichwerthig sind.

102. Satz. Es ist ^ ^ 1.

Beweis. Denn die Grundzahl 1 ist nach 99 in ^ enthalten,