53

wirklich allen Zahlen n zukommt, welche ^ ?n sind, also nach 93,74 der Kette m<> angehören; in der That,

9. dies leuchtet unmittelbar ein für n — m, undo. wenn diese Eigenschaft einer Zahl n zukommt, so folgtwieder aus III und der Beschaffenheit von 6, daß sie auch derZahl n' zukommt, w. z. b. w. Nachdem auch diese besondereEigenschaft unserer nenen Reihe von Abbildungen ^„ festgestellt ist,können wir unseren Satz leicht beweisen. Wir definiren eine Ab-bildung A der Zahlenreihe ^V, indem wir jeder Zahl n das Bild^(n) — ij'n(n) entsprechen lassen; offenbar sind (nach 21) alleAbbildungen ^„ in dieser einen Abbilduug ^ enthalten. Da ^»eine Abbildung von ^> in ^ war, so folgt zunächst, daß dieZahlenreihe durch A ebenfalls in ^ abgebildet wird, alsoA (^) ^ ^ ist. Sind ferner n verschiedene Zahlen, so darf mander Symmetrie wegen nach 90 annehmen, es sei in < n; dann istnach dem Obigen (m) — (in) — ^» (in), nnd ^ (n) — ^„ (n);da aber ^„ eine ähnliche Abbildung von F„ in T war, und m, nverschiedene Elemente von ^» sind, so ist ch„(m) verschieden von(n), also auch ^ (m) verschieden von ^ (^), d. h. ^ ist eine ähn-liche Abbildung von ^V. Da ferner ein unendliches System ist(71), so gilt nach 67 dasselbe von dem ihm ähnlichen Systemx(^V) und nach 68, weil ^(^) Theil von T ist, auch von I,w. z. b. w.

160. Satz. Ein System ^ ist endlich oder unendlich, jenachdem es ein ihm ähnliches System ^ giebt oder nicht giebt.Beweis. Wenn I! endlich ist, so giebt es nach 159 Systemewelche nicht ähnlich abbildbar in T sind; da nach 102 dasSystem ^, aus der einzigen Zahl 1 besteht und folglich in jedemSysteme ähnlich abbildbar ist, so mnß die kleinste Zahl />? (96), derein in ^ nicht ähnlich abbildbares System ^ cutspricht, verschiedenvon 1, also (nach 78) — sein, und da » < n' ist (91), sogiebt es eine ähnliche Abbilduug ^> von ^„ in T; wäre nun