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^(F,,) nur cin echter Theil von gäbe es also ein Element «in welches nicht in enthalten ist, so konnte man, da

^ M (^„, »') ist si08), diese.Abbildung ^ zu einer ähnlichenAbbildung ^ von F«, in ^ erweitern, indem man it-(n') — «setzte, während doch nach unserer Annahme nicht ähnlich ab-bildbar in I ist. Mithin ist ^(5„) ^ I. d. h. 5» uud I sindähnliche Systeme. Umgekehrt, wenn ein System ^ einem Systeme

ähnlich ist, so ist ^ nach 119, 67 endlich, w. z. b. w.161. Erklärung. Ist ^ ein endliches System, so giebt esnach 160 eine, und nach 120, 33 auch nur eine einzige Zahl n,welcher ein dem Systeme ^ ahnliches System entspricht; dieseZahl n heißt die Anzahl der in ^ enthaltenen Elemente (oder auchder Grad des Systems T), und man sagt, X bestehe aus oder sei einSystem von n Elementen, oder die Zahl n gebe an, wie viele Ele-mente in T enthalten sind Wenn die Zahlen benutzt werden, umdiese bestimmte Eigenschaft endlicher Systeme genau auszudrucken, soheißen sie Carc inalzahlen. Sobald eine bestimmte ähnliche Ab-bildung ^- des Systems ^» gewählt ist, vermöge welcher ^'(^,) —^wird, so entspricht jeder in F„ enthaltenen Zahl m (d. h. jeder Zahl ,»welche ^ n ist) ein bestimmtes Element ^-(m) des Systemsuud rückwärts entspricht nach 26 jedem Elemente von ^ durch dieumgekehrte Abbildung P eine bestimmte Zahl m in Sehr oftbezeichnet man alle Elemente von T mit einem einzigen Buchstaben,z. B. «, dem man die unterscheidenden Zahlen m als Zeiger an-hängt, so daß ^ (m) mit «,„ bezeichnet wird. Man sagt auch,diese Elemente seien gezählt nnd durch ^ in bestimmter Weisegeordnet, und nennt das mte Element von ist m < n,so heißt «,„' das auf «„, folgende Element, und «„, heißt das

*) Der Deutlichkeit und Einfachheit wegen beschränken wir im Folgendenden Begriff der Anzahl durchaus auf endliche Systeme; wenn wir daher voneiner Anzahl gewisser Dinge sprechen, so soll damit iinmcr schon ausgedrücktsein, daß das System, dessen Elemente diese Dinge sind, ein endliches ist.