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letzte Element. Bei diesem Zählen der Elemente treten daher dieZahlen wieder als Lrdinalzahlen auf (73). >

162. Satz. Alle einem endlichen Systeme ähnlichen Systemebesitzen dieselbe Anzahl von Elementen.

Der Beweis folgt unmittelbar aus 33, 101.

163. Satz. Die Anzahl der in enthaltenen, d. h. der-jenigen Zahlen, welche ^ n sind, ist ».

Beweis. Denn nach 32 ist 5„ sich selbst ähnlich.

164. Satz. Besteht ein System aus einem einzigen Element,so ist die Anzahl seiner Elemente — 1, und umgekehrt.

Der Beweis folgt unmittelbar aus 2, 26, 32, 102, 161.

165. Satz. Ist ^ echter Theil eines endlichen Systems X,so ist die Anzahl der Elemente von ^ kleiner, als diejenige derElemente von

Beweis. Nach 68 ist ^ ein endliches System, also ähnlicheinem Systeme ^„,, wo iw die Anzahl der Elemente von ^ be-deutet; ist ferner n die Anzahl der Elemente von X, also Tähnlich so ist nach 35 einein echten Theile ^ von ^ähnlich, und nach 33 sind auch und F einander ähnlich; wärennn » ^ m, also F„Z^„., so wäre F nach 7 auch echter Theilvon Z„,, »nd folglich ein unendliches System, was dem Satze119 widerspricht; mithin ist (nach 90) m < », w. z. b. w.

166. Satz. Ist M (F, 7), wo F ein System von nElementen, nnd / ein nicht in F enthaltenes Element von 1^ be-deutet, so besteht 1^ aus n' Elementen.

Beweis. Denn wenn F —ist, wo eine ähnlicheAbbildung von bedeutet, so läßt sich dieselbe nach 105, 108zu einer ähnlichen Abbildung ^ von ^>> erweitern, indem man^ (»') — ^ setzt, und zwar wird ^ (^„.) — 1^, w. z. b. w.

167. Satz. Ist 7 ein Element eines aus n' Elementen be-stehenden Systems I", so ist n die Anzahl aller anderen Elementevon