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Beweis. Denn wenn F der Inbegriff aller von 7 ver-schiedenen Elemente in 1^ bedenlet, so ist 1^ — M (-L, 7); ist nunb die Anzahl der Elemente des endlichen Systems so ist nachdem vorhergehenden Satze d' die Anzahl der Elemente von 1^, also

— 1/, woraus nach 26 auch ö — n folgt, w. z. b. w.

168. Satz. Besteht ^4 aus M, und Z aus n Elementen, undhaben ^4 und F kein gemeinsames Element, so besteht M (^4, ^V)aus -j- ^ Elementen.

Beweis durch vollständige Jnduction (80). Denn9. der Satz ist wahr für n — 1 zufolge 166, 164, 135. II.0. Gilt der Satz für eine Zahl n, so gilt er auch für diefolgende Zahl In der That, wenn I" ein System von »'Elementen ist, so kann man (nach 167) 1^—M(F, 7) setzen,wo 7 ein Element und F das System der n anderen Elementevon 1^ bedeutet. Ist nun ^. ein System von m Elementen, derenjedes nicht in 1^, also auch nicht in F enthalten ist, und setztman M (^4, — 1, so ist nach unserer Annahme m -f- n dieAnzahl der Elemente von uud da 7 nicht in I enthalten ist,so ist nach 166 die Anzahl der in M (I. 7) enthaltenen Elemente

— (m -I- n)', also (nach 135. III) — m da aber nach 15offenbar M (1,7) ^ M(^,F,7) M(^,-^) ist, so ist

die Anzahl der Elemente von M (^4, 1^), w. z. b. w.

169. Satz. Sind ^4, Z endliche Systeme von beziehungs-weise m, » Elementen, so ist M (^4, ein endliches System, unddie Anzahl seiner Elemente ist ^ m -j-

Beweis. Ist so ist M (^, Z) — ^4, und die Anzahl

m der Elemente dieses Systems ist (nach 142) < m n, wiebehauptet war. Ist aber F kein Theil von ^4, und ^ das Systemaller derjenigen Elemente von welche nicht in ^4 enthalten sind,so ist nach 165 deren Anzahl 4? ^ m, und da offenbarM (^, ^v) ^ M (^l.