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ist, so ist nach 143 die Anzahl m -s- ^ der Elemente dieses Systems^ u- w. z. b. w.

170. Satz. Jedes aus einer Anzahl n von endlichen Syste-men zusammengesetzte System ist endlich.

Beweis durch vollständige Jnduction (30). Denny. der Satz ist nach 8 selbstverständlich für n — 1.6. Gilt der Satz für eine Zahl n, und ist T zusammengesetztaus endlichen Systemen, so sei ^ eines dieser Systeme, und Fdas aus allen übrigen zusammengesetzte System; da deren Anzahl(nach 107) — n ist, so ist uach unserer Annahme F ein endlichesSystem. Da nun offenbar T — M(^4, F) ist, so folgt hierausund aus 169, daß auch ^ ein endliches System ist, w. z. b. w.

171. Satz. Ist ^ eine unähnliche Abbildung eines endlichenSystems T von n Elementen, so ist die Anzahl der Elemente desBildes ^(1) kleiner als n.

Beweis. Wählt man von allen denjenigen Elementen vonwelche ein und dasselbe Bild besitzen, immer nur ein einziges nachBelieben aus, so ist das System ^ aller dieser ausgewählten Ele-mente offenbar ein echter Theil von weil ^ eine unähnlicheAbbildung von T ist (26). Zugleich leuchtet aber ein, daß die(nach 21) in ^ enthaltene Abbildung dieses Theils ^ eine ähn-liche, und daß ^(?) ^ ^(1) ist; mithin ist das System >^(I)ähnlich dem echten Theil ^ von und hieraus folgt unser Satznach 162, 165.

172. Schlußbemerkung. Obgleich soeben bewiesen ist, daß dieAnzahl m der Elemente von ^ (^) kleiner als die Anzahl n derElemente von T ist, so sagt man in manchen Füllen doch gern, dieAnzahl der Elemente von ^ (I) sei — n. Natürlich wird danndas Wort Anzahl in einem anderen, als dem bisherigen Sinne(161) gebraucht; ist nämlich « ein Element von und a dieAnzahl aller derjenigen Elemente von welche ein und dasselbeBild ^ («) besitzen, so wird letzteres als Element von ^- (X) häufig

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